Đáp án A

Khi quay hình tam giác đó xung quanh đường thẳng AB một góc 360⁰ ta được một khối nón tròn xoay có đỉnh A, đường cao AB, bán kính đáy R = BC.

Kết luận V = 1 3 . π . BC 2 . AB = πa 3

Đáp án B.

Đặt a = B C , b = C A , c = A B .

Quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA thì khối tròn xoay sinh ra là khối nón có chiều cao h 1 = R 2 − 1 4 b 2  và bán kính đáy r 1 = 1 2 b  nên ta có V 1 = 1 3 π r 1 2 h 1 = 1 24 π b 2 4 R 2 − b 2 .

Tương tự, ta có

V 2 = 1 24 π c 2 4 R 2 − c 2 ; V 3 = 1 24 π a 2 4 R 2 − a 2 .

Bằng việc khảo sát hàm số f t = t 2 4 R 2 − t  trên khoảng 0 ; 4 R 2 hoặc dựa vào bất đẳng thức Cô-si

1 2 b 2 . 1 2 b 2 . 4 R 2 − b 2 ≤ 1 2 b 2 + 1 2 b 2 + 4 R 2 − b 2 3 3 = 64 27 R 6 .

Ta được V 1 ≤ 2 π 3 9 R 3 ; V 2 ≤ 2 π 3 9 R 3 . Suy ra V 1 + V 2 ≤ 4 π 3 9 R 3 .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = c = 2 6 3 R .

Vậy V 1 + V 2  đạt giá trị lớn nhất bằng 4 π 3 9 R 3  khi b = c = 2 6 3 R .

Khi đó tam giác ABC cân tại A và có A B = A C = 2 6 3 R .

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì 2 R . A H = A B 2 . Từ đó suy ra A H = A B 2 2 R = 4 3 R . Do đó O H = A H − R = 1 3 R  và a = 2 R 2 − O H 2 = 4 2 3 R .

Suy ra V 3 = 8 π 81 R 3 .

Đáp án B.

Đáp án A

Vì hai mặt phẳng (ABC), (ABD) vuông góc với nhau nên bài toán trở thành “Tính thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác HAB quanh AB với ABCD là hình thang vuông tại A,B” như hình bên. Hai tam giác BHC và DHA đồng dạng ⇒ B H D H = H C H A = B C A D = 1 3 .

Mà B D = A D 2 + A B 2 = 2 a 3 ; A C = A B 2 + C B 2 = 2 a

Suy ra A H = 3 4 A C = 3 4 .2 a = 3 a 2 và B H = 1 4 B D = 1 4 .2 a 3 = a 3 2 .

Diện tích tam giác ABH là:

S Δ A B H = 1 2 . A H . B H = 1 2 . 3 a 2 . a 3 2 = 3 a 2 3 8 = 1 2 . d H ; B C . B C ⇒ d H ; B C = 2. 3 a 2 3 8 . a 3 = 3 a 4 .

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:

V = 1 3 π 3 a 4 2 . a 3 = 3 3 π a 2 16 .

Đáp án A

Kết luận V = 1 3 πBC 2 . AB = πa 3  

Đáp án B

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Khi quay quanh AB ta sẽ thu được một hình nón bị thiếu đáy và thể tích phần đáy bị thiếu lại chính bằng thể tích của khối nón nhỏ khi quay ∆ A B C  quanh AH. Vậy thể tích cần tính là